1.
В правом верхнем углу шахматной доски стоит король. За ход разрешено
его двигать на одну клетку вниз или влево, или вниз-влево по
диагонали. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
a)
Объясните, почему игра рано или поздно закончится.
b)
Какое наибольшее число ходов может быть в такой игре?
2.
На полях a1, b2
стоят белые ладьи (ими ходит Первый), а на a8,
b8 – черные
ладьи (ими ходит Второй). Ладьями можно ходить только по вертикали,
причем прыгать через другие ладьи или есть их нельзя. Каждым ходом
можно двинуть любую ладью, но только одну. Кто не может сделать ход –
проигрывает.
a) Может
ли эта игра никогда не закончится?
b)
Докажите, что Первый может выигрывать
независимо от игры противника. Как ему надо играть?
3. В правом верхнем углу шахматной доски стоит конь. За ход разрешено его двигать на две клетки вниз и затем на одну по горизонтали, или на одну клетку вверх и затем на две клетки по горизонтали. Кто не может сделать ход – проигрывает. Может ли эта игра никогда не закончится?
4.
В правом верхнем углу шахматной доски стоит король. За ход разрешено
его двинуть на одну клетку в одном из 4 направлений: вниз, влево,
вниз-влево или вниз-вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать
ход.
a)
Объясните, почему игра рано или поздно закончится.
b)
Какое наибольшее число ходов может быть в такой игре?
5.
Есть две коробки конфет, по 9 конфет в каждой. За один ход
разрешается взять 1 конфету из правой коробки или положить в правую
коробку 9 конфет и за это взять одну конфету из левой коробки. Играет
один игрок.
а)
Вначале у игрока конфет нет. Сколько ходов он сможет сделать?
b)
Вначале у игрока уже есть 100 конфет. Сколько ходов он сможет
сделать?
6.
Есть две коробки конфет, по 9 конфет в каждой. За один ход
разрешается взять 1 конфету из правой коробки или положить в правую
коробку от 0 до 9 конфет и за это взять одну конфету из левой
коробки. Играет один игрок.
a)
Вначале у игрока конфет нет. Сколько ходов он сможет сделать?
b)
Вначале у игрока уже есть 100 конфет. Сколько ходов он сможет
сделать?
7* Есть две коробки конфет, по 9 конфет в каждой. За один ход разрешается взять 1 конфету из правой коробки или положить в правую коробку сколько хочешь конфет и за это взять одну конфету из левой коробки. Играет один игрок, у него вначале уже есть 100 конфет. Докажите, что игра рано или поздно закончится.
8*
В шахматах есть правило 50 ходов: если за 50 ходов
не было взятий и ходов пешками, то ничья. а)
Докажите, что шахматная партия рано или поздно закончится.
b)
Докажите, что в шахматной партии не может быть больше 6500 ходов.
Стокгольм, 10 мая 2003 г , Кружок при школе Сони Ковалевской 2002-03 гг.