Мы будем рассматривать игры, где двое игроков (Первый и Второй) ходят по очереди, причем начинает Первый. «Кто выигрывает?» будет означать: «Кто из игроков может всегда выигрывать независимо от игры противника?».
1.
а)
За ход можно брать одну или две конфеты. Выигрывает тот, кто возьмет
последнюю конфету. Кто выигрывет, если сперва было 8 конфет?
b)
То же, но сперва было 18 конфет.
с)
Определите, при
каких числах конфет вначале всегда выигрывает Второй. Запишите числа
от 1 до 18 в ряд, и поставьте возле числа + если выигрывает первый и
– если второй.
2.
а)
В правом верхнем углу шахматной доски стоит ладья. За ход разрешено
ее двигать вниз или влево на любое расстояние. Проигрывает тот, кто
не может сделать ход. Кто выигрывает?
b)
Те же правила, но ладья может вначале стоять на любой клетке.
Определите, для каких клеток Первый проигрывает, и отметьте эти
клетки знаком «минус», а остальные знаком плюс.
Проверьте
себя: с плюса всегда должен быть ход на минус, а с минуса ВСЕ ходы
должны быть на плюс.
3.
а)
В правом верхнем углу шахматной доски стоит король. За ход разрешено
его двигать на одну клетку вниз или влево, или вниз-влево по
диагонали. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто
выигрывает?
b)
Те же правила, но король может вначале стоять на любой клетке.
Определите, для каких клеток Первый проигрывает, и отметьте эти
клетки знаком «минус», остальные клетки – знаком
«плюс».
Проверьте
себя как раньше. Придумайте простое правило, как нужно играть по
такой таблице-шпаргалке.
4.
На шахматной доске стоит слон.
Разрешается ходить им по диагонали вниз. Кто не может сделать ход –
проигрывает. Определите, для каких клеток Первый проигрывает, и
отметьте эти клетки знаком «минус», остальные клетки –
знаком «плюс».
Как
лучше всего заполнять такую таблицу, с каких клеток надо начинать?
5. На шахматной доске стоит король. За ход разрешено его двигать на одну клетку вниз или влево, или вниз-влево по диагонали. Кто не может сделать ход – выигрывает (!). Составьте плюс-минус таблицу для этой игры. Сравните ее с таблицей в задаче 3. На скольких клетках таблицы совпадают, на скольких различаются?
Стокгольм, 12 апреля 2003 г , Кружок при школе Сони Ковалевской 2002-03 гг.