1. Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 8×8 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может выиграть независимо от игры противника, и как ему при этом нужно играть?
2. Есть две
кучки по 10 конфет в каждой. Двое ходят по очереди. Каждым ходом
можно съесть любое число конфет, но только из одной кучки.
a)
Как должен играть второй, чтобы съесть
не меньше 10 конфет?
b)
Как должен играть первый, чтобы съесть не меньше
10 конфет?
3. Двое по очереди ставят ладей в клетки доски 8×8 так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может выиграть независимо от игры противника, и как ему при этом нужно играть?
4. Есть две клетчатых шоколадки 4×5. Двое по очереди разламывают шоколадку или любой из ранее отломанных кусков на два меньших по границам клеток. Если образуются один или несколько одноклеточных кусков, отломивший их съедает. Докажите, что второй может съесть не меньше первого.
5. a)
Есть две кучки по 10 конфет в каждой.
Двое ходят по очереди. Каждым ходом можно съесть любое число конфет,
но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто может выиграть независимо от игры противника, и как ему при этом
нужно играть?
б) Та
же игра, но вначале в одной кучке 10, а в другой 11 конфет. Кто может
выиграть независимо от игры противника, и как ему при этом нужно
играть?
6. Теперь есть только одна клетчатая шоколадки 8×5. Двое по очереди разламывают шоколадку или любой из ранее отломанных кусков на два меньших по границам клеток. Если образуются один или несколько одноклеточных кусков, отломивший их съедает. Докажите, что теперь уже первый может съесть не меньше второго.
7. Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 7×7 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может выиграть независимо от игры противника, и как ему при этом нужно играть?
8. У ромашки 12 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто из игроков может всегда выигрывать независимо от игры противника?
9. В двух противоположных углах шахматной доски стоят черная и белая ладьи, на остальных клетках – серые пешки. Двое ходят по очереди, каждый своей ладьей. Каждым ходом ладья должна что-нибудь съесть: пешку или ладью противника. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может выиграть независимо от игры противника, и как ему при этом нужно играть? Рассмотрите доски размеров a) 8×8 b) 7×7 c) 7×8.
Стокгольм, 29 марта 2003 г , Кружок при школе Сони Ковалевской 2002-03 гг.