\documentclass[14pt]{extarticle}

\usepackage{amssymb}                        
\usepackage{amsmath}       	                 
\usepackage[utf8]{inputenc}               
\usepackage[russian]{babel}                 
\hoffset=-30truemm                          
\voffset=-14truemm                          
\oddsidemargin=25truemm                          
\headsep=4truemm                                
\textheight=254truemm                 
\textwidth=172truemm                        
\def\nod{\mbox{НОД}}
\def\nok{\mbox{НОК}}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\R{\mathbb R}
\def\N{\mathbb N}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\CC{\mathbb C}
\usepackage{latexsym,amssymb,amsthm}
\newcommand{\br}{\vfill\noindent\phantom{}\dotfill\vfill}
\RequirePackage[dvips]{graphicx}
\catcode`\@=11
\def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.5ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
\def\nekratno{\mathrel{\mathpalette\c@ncel\kratno}}
\def\c@ncel#1#2{\m@th\ooalign{$\hfil#1\mkern1mu/\hfil$\crcr$#1#2$}}
\def\p#1. {\noindent\phantom{1}{\bf#1.} }
\def\modn{\mathop{\equiv}}
\def\mod{\modn\limits}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}.}

\renewcommand{\@oddhead}%


\renewcommand{\@oddfoot}{}

\begin{document}

\centerline{\bf \LARGE Единственность разложения многочленов}

%\centerline{\bf 10 июля}


\pОпр1. Дано множество комплексных чисел $K$, замкнутое относительно сложения, вычитания и умножения. {\it Простым} в $K$ назовем число, не раскладывающееся в произведение двух меньших по модулю чисел из $K$.
 
\pУпр1. Пусть $K -$ все четные числа.\\ 
а) Докажите, что любое число в $K$ можно разложить в произведение простых.\\
б) Единственно ли такое разложение?

\pУпр2. Пусть $K -$ все числа вида $m+n\sqrt{5}i$, где $m, n \in \Z$.\\ 
а) Докажите, что любое число в $K$ можно разложить в произведение простых.\\
б) Единственно ли такое разложение?

\centerline{\bf Разложение многочленов над полем}
\pОпр2. Дано числовое поле $F$. Многочлен из $F[x]$ назовем {\it приводимым}, если его можно представить как произведение двух многочленов из $F[x]$ меньшей степени, и {\it неприводимым} в противном случае. 

\pУпр3. Какова наименьшая степень многочлена из $\Q[x]$, который раскладывается на разное количество неприводимых множителей в $\CC[x]$, $\R[x]$ и $\Q[x]$?
 
\pУпр4. ({\it повторение})  
Докажите, что любой многочлен можно единственным образом разложить в произведение неприводимых\\
а) в $\CC[x]$;\\
б) в $\R[x]$.

\pОпр3. {\it Наибольшим общим делителем} (НОД) двух многочленов, один из которых ненулевой, называют их общий делитель наибольшей степени. 

\pУпр5. Как найти НОД с помощью алгоритма Евклида?

\pЛемма6. ({\it о линейном представлении НОД}).\\
а) Если $f, g \in F[x]$, то найдутся такие $u, v \in F[x]$, что $uf+vg=\mbox{НОД}(f,g)$.\\
б) Можно подобрать $u, v$ так, чтобы было $\deg u < \deg g, \deg v < \deg f$.

\pЗад7. Найдите НОД и линейно представьте его с ограничением на степень коэффициентов для следующих пар многочленов:\\
а) $x(x-1)^3(x+2)$ и $(x-1)^2(x+2)^2(x+5)$;\\ 
б) $3x^3-2x^2+x+2$ и $x^2-x+1$;\\ 
в) $x^m-1$ и $x^n-1$;\\ 
г) $x^m+1$ и $x^n+1$.

\pЛемма8. Если в $F[x]$ произведение $fg$ делится на неприводимый многочлен $p$, то $f$ или $g$ делится на $p$. 

\pТеорема9. ({\it Основная теорема арифметики}). Всякий многочлен в $F[x]$ может быть разложен в произведение числа и неприводимых многочленов со старшим коэффициентом 1, причем такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей.

\centerline{\bf Разложение многочленов над $\Z$}

\pУпр10. Известно, что $f,g \in \Z[x]$ и все коэффициенты произведения $fg$ делятся на простое число $p$. Докажите, что на $p$ делятся все коэффициенты $f$ или все коэффициенты $g$.


\pОпр4. {\it Содержание} многочлена $f \in \Z[x] -$  это НОД всех его коэффициентов. 

\pЛемма11 (Гаусс). Произведение многочленов с содержанием 1 является многочленом с содержанием 1.

\pЗад12. Докажите, что \\
а) всякий многочлен $S \in \Q[x]$ можно представить в виде  $S=qP$,\\ где $q\in\Q, P\in\Z[x]$ и содержание $P$ равно 1.\\ 
б) Такое представление единственно. 

\pТеорема13. Если $P\in\Z[x]$ приводим в $\Q[x]$, то он приводим и в $\Z[x]$.

\pТеорема14. ({\it Гаусс}) В $\Z[x]$  разложение на неприводимые множители однозначно.

\centerline{\bf На дом}

\pЕР1. При делении многочлена  $x^{1951} - 1$ на  многочлен $x^4+x^3+2x^2+x+1$  получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при $x^{14}$.

\pЕР2. $f(x)\in \Z[x], \deg f = 3$.  Докажите, что $f$  неприводим тогда и только тогда, когда у него нет рациональных корней.

\pЕР3*. Докажите основную теорему арифметики для многочленов $F[x,y]$ от двух переменных. \\
{\bf Указание}. Представьте $F[x,y]$ как $K[x]$, где $K=F[y]$ и используйте понятие содержания многочлена с $F[y]$ вместо $\Z$.
 
\rightline{Барнаул 2015, 19 января. 10 класс, А.Шаповалов} 

\rightline{www.ashap.info/Uroki/Altaj/index.html}












\end{document}