Из всех ветвей геометрии мне больше всего нравится комбинаторная геометрия. Именно такие задачи мне иногда и удаётся предложить на олимпиаду им. И.Ф.Шарыгина. Для меня эта олимпиада привлекательна не только разнообразием геометрических тем, но и географическим разнообразием авторов задач.
8-7. На плоскости даны десять точек таких, что любые четыре лежат на контуре некоторого квадрата. Верно ли, что все десять лежат на контуре некоторого квадрата?
8-4. Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.
8-6. Остроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника. Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.
8-5. Дан треугольник с углами 30°, 70° и 80°. Разрежьте его отрезком на два треугольника так, чтобы биссектриса одного из этих треугольников и медиана второго, проведённые из концов разрезающего отрезка, были параллельны друг другу. (Достаточно найти одно решение.)
10-1. При каких n можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба n×n×n бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?
8-4. В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1. Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.