А.В.Шаповалов => Турниры

Математический праздник

Так случилось, что уже лет 15 я активно участвую в составлении вариантов Московского матпраздника – олимпиады для 6 и 7 классов. Оказалось, что задачи для младших школьников сочинять ничуть не менее приятно, чем для старших. Предоставляю эти задачи вашему вниманию. Полные варианты матпраздника можно найти на официальной странице – достаточно кликнуть на заголовок.
Задачи Матпраздника для Математической вертикали помечены буквами МВ.


2024 год

6-3, МВ6-4, МВ7-2, 7-3. В сумме
П,Я + Т,Ь + Д,Р + О,Б + Е,Й
все цифры зашифрованы буквами (разными буквами — разные цифры). Оказалось, что все пять слагаемых не целые, но сама сумма является целым числом. Каким именно?
Для каждого возможного ответа напишите один пример с такими пятью слагаемыми. Объясните, почему другие суммы получить нельзя.



6-5. Решил шах проверить придворного мудреца. «Вот тебе шесть шкатулок, — сказал шах, — с надписями 1, 2, 3, 4, 5, 6 на крышках. В каждой шкатулке золотая монета, которая весит ровно столько граммов, сколько написано. Ты расставляешь шкатулки как угодно в клетках прямоугольника 2x3. Потом я втайне от тебя меняю местами монеты в каких-то двух шкатулках, стоящих в соседних по стороне клетках (или ничего не меняю). Затем ты укажешь на несколько шкатулок, а я назову тебе общий вес монет в них. Если после этого правильно определишь, какие монеты я переложил, останешься при дворе. А не сможешь — прогоню вон!» Как может действовать мудрец, чтобы выдержать испытание?



МВ6-6, МВ7-6. Решил шах проверить придворного мудреца. «Вот тебе шесть шкатулок, — сказал шах, — с надписями 1, 2, 3, 4, 5, 6 на крышках. В каждой шкатулке золотая монета, которая весит ровно столько граммов, сколько написано. Ты расставляешь шкатулки как угодно в клетках прямоугольника, который я тебе укажу. Потом я втайне от тебя меняю местами монеты в каких-то двух шкатулках, стоящих в соседних по стороне клетках (или ничего не меняю). Затем ты укажешь на несколько шкатулок, а я назову тебе общий вес монет в них. Если после этого правильно определишь, какие монеты я переложил, останешься при дворе. А не сможешь — прогоню вон!»
Как может действовать мудрец, чтобы выдержать испытание, если прямоугольник, в клетках которого нужно расставить шкатулки, имеет размер
а) 1х6?
б) 2х3?



6-6. В школе все ученики — отличники, хорошисты либо троечники. В круг встали 99 учеников. У каждого среди трёх соседей слева есть хотя бы один троечник, среди пяти соседей справа — хотя бы один отличник, а среди четырёх соседей — двух слева и двух справа — хотя бы один хорошист. Может ли в этом круге быть поровну отличников и троечников?



2023 год

МВ6-4, 6-3, МВ7-4, 7-3. Сто сидений карусели расположены по кругу через равные промежутки. Каждое покрашено в жёлтый, синий или красный цвет. Сиденья одного и того же цвета расположены подряд и пронумерованы 1, 2, 3, ... по часовой стрелке. Синее сиденье №7 противоположно красному №3, а жёлтое №7 — красному №23. Найдите, сколько на карусели жёлтых сидений, сколько синих и сколько красных.



2022 год

МВ6-3. Найдите шестизначное число, у которого первая цифра в 6 раз меньше суммы всех цифр справа от неё и вторая цифра в 6 раз меньше суммы всех цифр справа от неё.



6-2. Три лягушки на болоте прыгнули по очереди. Каждая приземлялась точно в середину отрезка между двумя другими. Длина прыжка второй лягушки 60 см. Найдите длину прыжка третьей лягушки.



MB6-4. Три лягушки сидели на одной прямой. Вначале прыгнула одна из них, потом другая, а затем и третья. Каждая лягушка приземлялась точно в середину отрезка между двумя другими. Оказалось, что длины двух из этих трёх прыжков равны 60 см.
а) Какой могла быть длина оставшегося прыжка?
б) Каким могло быть расстояние между двумя крайними лягушками изначально?



6-6, 7-6. Шеренга солдат-новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде «налево» некоторые повернулись налево, остальные — направо. Оказалось, что в затылок соседу смотрит в шесть раз больше солдат, чем в лицо. Затем по команде «кругом» все развернулись в противоположную сторону. Теперь в затылок соседу стали смотреть в семь раз больше солдат, чем в лицо. Сколько солдат в шеренге?



2021 год

6-1, МВ6-2. а) Впишите в клеточки на рисунке четыре различные цифры, чтобы произведение дробей равнялось 20/21: Решите эту задачу для трёх других арифметических действий: б) деления; в) вычитания; г) сложения.



6-4, 7-3. Внутри клетчатого прямоугольника периметра 50 вырезана по границам клеток прямоугольная дырка периметра 32 (дырка не содержит граничных клеток). Если разрезать эту фигуру по всем горизонтальным линиям сетки, получится 20 полосок шириной в 1 клетку. А сколько полосок получится, если вместо этого разрезать её по всем вертикальным линиям сетки? (Сторона клетки равна 1. Квадратик 1х1 – это тоже полоска!)



МВ6-4. Петя наблюдает, как два муравья ползут с постоянными скоростями по прямой дорожке. Между муравьями было 9 м в момент через 3 мин после начала наблюдения, 5 м – через 5 мин после начала, 3 м – через 9 мин после начала. Каким было расстояние через 8 мин после начала наблюдения?



МВ7-2. Фокусник задумал два натуральных числа, и сообщил Симе их сумму, а Прову – их произведение. Видя произведение 2280, Пров смог отгадать задуманные числа только после того, как Сима сообщила, что сумма у неё нечётна и двузначна. Так какие числа задумал фокусник?



2020 год

6-4. Миша сложил из кубиков куб 3x3x3. Затем некоторые соседние по грани кубики он склеил друг с другом. Получилась цельная конструкция из 16 кубиков, остальные кубики Миша убрал. Обмакнув конструкцию в чернила, он поочерёдно приложил её к бумаге тремя гранями. Вышло слово КОТ (см. рис.). Что получится, если отпечатать грань, противоположную букве «О»? (М. А. Евдокимов, О. А. Заславский, А. В. Шаповалов )



7-3. На столе лежат 6 яблок (не обязательно одинакового веса). Таня разложила их по 3 на две чашки весов, и весы остались в равновесии. А Саша разложил те же яблоки по-другому: 2 яблока на одну чашку и 4 на другую, и весы опять остались в равновесии. Докажите, что можно положить на одну чашку весов одно яблоко, а на другую два так, что весы останутся в равновесии.



2019 год

6-1. Саша выписала числа от одного до ста, а Миша часть из них стер. Среди оставшихся у 20 чисел есть в записи единица, у 19 чисел есть в записи двойка, а у 30 чисел нет ни единицы, ни двойки. Сколько чисел стёр Миша?



6-6. Каждая грань куба 6x6x6 разбита на клетки 1x1. Куб оклеили квадратами 2x2 так, что каждый квадрат накрывает ровно четыре клетки, никакие квадраты не совпадают и каждая клетка накрыта одинаковым числом квадратов. Какое наибольшее значение может принимать это одинаковое число? (Квадрат можно перегибать через ребро.)



7-4. Имеется три кучки по 40 камней. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход надо объединить две кучки, после чего разделить эти камни на четыре кучки. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто из играющих (Петя или Вася) может выиграть, как бы ни играл соперник?



7-6. В ряд лежат 100 монет, часть – вверх орлом, а остальные – вверх решкой. За одну операцию разрешается выбрать семь монет, лежащих через равные промежутки (т.е. семь монет, лежащих подряд, или семь монет, лежащих через одну, и т.д.), и все семь монет перевернуть. Докажите, что при помощи таких операций можно все монеты положить вверх орлом. (С.И.Токарев, А.В. Шаповалов)



2018 год

6-1. Паук сплёл паутину, и во все её 12 узелков попалось по мухе или комару. При этом каждое насекомое оказалось соединено отрезком паутины ровно с двумя комарами. Нарисуйте пример, как это могло быть (написав внутри узелков буквы М и К).



6-5. Шесть математиков пошли на рыбалку. Вместе они наловили 100 рыб, причём все поймали разное количество. После рыбалки они заметили, что любой из них мог бы раздать всех своих рыб другим рыбакам так, чтобы у остальных пятерых стало поровну рыб. Докажите, что один рыбак может уйти домой со своим уловом и при этом снова каждый оставшийся сможет раздать всех своих рыб другим рыбакам так, чтобы у них получилось поровну.



7-2. Использовав каждую из цифр от 0 до 9 ровно по разу, запишите 5 ненулевых чисел так, чтобы каждое делилось на предыдущее.

2017 год

6-2. На двух карточках написаны 4 различные цифры – по одной с каждой стороны карточки. Могло ли оказаться так, что всякое двузначное число, которое можно сложить из этих карточек, будет простым? (Нельзя переворачивать цифры вверх ногами, то есть делать из цифры 6 цифру 9 и наоборот).



6-3, 7-3. Среди всех граней восьми одинаковых кубиков треть синие, остальные – красные. Из кубиков сложили большой куб. Теперь среди видимых граней кубиков ровно треть – красные. Докажите, что из этих кубиков можно сложить куб, полностью красный снаружи.



6-6. Кощей Бессмертный взял в плен 43 человека и увёз их на остров. Отправился Иван Царевич на двухместной лодке выручать их. А Кощей ему и говорит:
– Надоело мне этих дармоедов кормить, пусть плывут отсюда подобру-поздорову. Имей в виду: с острова на берег доплыть можно только вдвоём, а обратно и один справится. Перед переправой я скажу каждому не менее чем про 40 других пленников, что это оборотни. Кому про кого скажу, сам выберешь. Если пленник про кого-то слышал, что тот оборотень, он с ним в лодку не сядет., а на берегу находиться сможет. Я заколдую их так, чтоб на суше они молчали, зато в лодке рассказывали друг другу про всех известных им оборотней. Пока хоть один пленник остаётся на острове, тебе с ними плавать нельзя. Лишь когда все 43 окажутся на том берегу, одному из них можно будет за тобой приплыть. А коли не сумеешь устроить им переправу – останешься у меня навсегда.
Есть ли у Ивана способ пройти испытание и вернуться с пленниками домой?



7-2. У аптекаря есть три гирьки, с помощью которых он одному покупателю отвесил 100 г йода, другому – 101 г мёда, а третьему –  102 г перекиси водорода. (Гирьки он ставил только на одну чашку весов.) Могло ли быть так, что каждая гирька легче 90 г?



7-5. Можно ли так расставить цифры 1, 2, …, 8 в клетках а) буквы Ш; б) полоски (см. рис.), чтобы при любом разрезании фигуры на две части сумма всех цифр в одной из частей делилась на сумму всех цифр в другой? (Резать можно только по границам клеток. В каждой клетке должна стоять одна цифра, каждую цифру можно использовать только один раз.)



7-6. Среди 49 школьников каждый знаком не менее чем с 25 другими. Докажите, что можно их разбить на группы из 2 или 3 человек так, чтобы каждый был знаком со всеми в своей группе.



2016 год

6-1. У Незнайки есть 5 карточек с цифрами 1, 2, 3, 4 и 5. Помогите ему составить из этих карточек два числа – трёхзначное и двузначное – так, чтобы первое число делилось на второе.



6-2, 7-2. В маленьком городе толко одна трамвайная линия. Она кольцевая, и трамваи ходят по ней в обоих направлениях. На кольце есть остановки Цирк, Парк и Зоопарк. От Парка до Зоопарка путь на трамвае через Цирк втрое длиннее, чем не через Цирк. От Цирка до Зоопарка путь через Парк вдвое короче, чем не через Парк. Какой путь от Парка до Цирка – через Зоопарк или не через Зоопарк – короче и во сколько раз?



7-3. Сложите из трех одинаковых клетчатых фигур без оси симметрии фигуру с осью симметрии.



7-4. Впишите вместо звёздочек шесть различных цифр так, чтобы все дроби были несократимыми, а равенство верным: */* + */* = */*.



2015 год

6-2. а) Впишите в каждый кружочек по цифре, отличной от нуля, так, чтобы сумма цифр в двух верхних кружочках была в 7 раз меньше суммы остальных цифр, а сумма цифр в двух левых кружочках была в 5 раз меньше суммы остальных цифр.
б)Докажите, что задача имеет единственное решение.



6-5. Обезьяна становится счастливой, когда съедает 3 разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов?



2014 год

6-4. Нарисуйте фигуру, которую можно разрезать на четыре фигурки, изображенные справа, а можно – на 5 фигурок, изображенных справа. (Фигурки можно поворачивать)



7-6. На доске записаны два числа: 2014 и 2015. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За один ход можно
– либо уменьшить одно из чисел на его ненулевую цифру или на ненулевую цифру другого числа;
– либо разделить одно из чисел пополам, если оно четное.
Выигрывает тот, кто первым напишет однозначное число. Кто из них может выиграть, как бы ни играл соперник? Опишите его стратегию и докажите, что она выигрышная.



2013 год

6-3, 7-1. Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пес откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?



6-5. Малый и Большой острова имеют прямоугольную форму и разделены на прямоугольные графства. В каждом графстве проложена дорога по одной из диагоналей. На каждом острове эти дороги образуют замкнутый путь, который ни через какую точку не проходит дважды. Вот как устроен Малый остров, где всего 6 графств (см. рис. справа). Нарисуйте, как может быть устроен Большой остров, если в нем нечетное число графств. Сколько графств у вас получилось?



7-3. Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял одну семечку, второй – две, третий – три, и так далее: каждый следующий брал на одну семечку больше. Известно, что на втором круге было взято в сумме на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидели за столом?



7-6. Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м. (см. рисунок). Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей – по часовой. Когда Му добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев еще сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов



7-6. Лиса Алиса и кот Базилио напечатали 20 фальшивых купюр и теперь вписывают в них семизначные номера. На каждой купюре есть 7 пустых клеток для цифр. Базилио называет по одной цифры 1 или 2 (других он не знает), а Алиса вписывает названную цифру в любую свободную клетку любой купюры и показывает результат Базилио. Когда все клетки заполнены, Базилио берет себе как можно больше купюр с разными номерами (из нескольких с одинаковым номером он берет лишь одну), а остаток забирает Алиса. Какое наибольшее число купюр может получить Базилио, как бы ни действовала Алиса?



2012 год

6-1. Разрежьте рамку (см. рис. справа) на 16 равных частей.



6-2. Пазл Пете понравился, он решил его склеить и повесить на стену. За одну минуту он склеивал вместе два куска — начальных, или ранее склеенных. В результате весь пазл склеился в одну цельную картину за 2 часа. За сколько минут склеилась бы картина, если бы Петя склеивал вместе за минуту не по два, а по три куска?



7-5. «В этой фразе 1/… всех цифр – цифры *, доли цифр * и * одинаковы и равны 1/…, а на долю всех остальных цифр приходится 1/… ». Вставьте вместо звёздочек три разных цифры, а вместо многоточий – три разных числа так, чтобы фраза была верной.



7-6. Победив Кащея, потребовал Иван золота, чтобы выкупить Василису у разбойников. Привел его Кащей в пещеру и сказал: «В сундуке лежат золотые слитки. Но просто так их унести нельзя: они заколдованы. Переложи себе в суму один или несколько. Потом я переложу из сумы в сундук один или несколько, но обязательно другое число. Так мы будем по очереди перекладывать их: ты в суму, я в сундук, каждый раз новое число. Когда новое перекладывание станет невозможным, сможешь унести свою суму со слитками.» Какое наибольшее число слитков может унести Иван, как бы не действовал Кащей, если в сундуке изначально лежит
а) 13;
б) 14 золотых слитков.
Как ему это сделать?



2011 год

6-1. «А это вам видеть пока рано», – сказала Баба-Яга своим 33 ученикам и скомандовала: «Закройте глаза!». Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть мальчиков. Сколько учеников всё-таки увидели то, что видеть пока рано?



6-5. Дракон запер в пещере шестерых гномов и сказал: «У меня есть семь колпаков семи цветов радуги. Завтра утром я надену на каждого из вас по колпаку, а один колпак спрячу. После этого каждый втайне от других скажет мне цвет спрятанного колпака. Если угадают хотя бы трое, всех отпущу. Если меньше – съем на обед». Как гномам договориться действовать, чтобы спастись?



6-6. Деревянный брусок (прямоугольный параллелепипед) распилили (по трем пересекающимся плоскостям, параллельным граням) на восемь меньших брусков (прямоугольных параллелепипедов). На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности. Какова площадь поверхности невидимого бруска?



7-2. Вдоль дорожки между домиками Незнайки и Синеглазки росли в ряд цветы: 15 пионов и 15 тюльпанов вперемешку. Отправившись из дома в гости к Незнайке, Синеглазка поливала все цветы подряд. После 10-го тюльпана вода закончилась, и 10 цветов остались неполитыми. Назавтра, отправившись из дома в гости к Синеглазке, Незнайка собирал для неё все цветы подряд. Сорвав 6-й тюльпан, он решил, что для букета достаточно. Сколько цветов осталось расти вдоль дорожки?



7-6. Числа от 1 до 16 расставлены в таблице 4x4. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (включая диагонали из одной клетки) отметили самое большое из стоящих в ней чисел. (Одно число может быть отмечено несколько раз.) Могли ли оказаться отмечены
а) все числа, кроме, быть может, двух?
б) все числа, кроме, быть может, одного?
в) все числа?