Uppgifter från en mattecirkel på nätet

(gemensamt med prof. Boris Shapiro och fil. dr. Johan Thorbiörnson)

Veckans nötter

1. En lägenhet består av ett antal rum som kan ha olika ytor. Det går att dela lägenheten mellan 2, 3 eller 4 hyresgäster så att varje person får samma yta (fast antalet rum kan vara olika). Försök att hitta ett exempel på en sådan lägenhet med så få rum som möjligt. Kan du bevisa att mindre antal rum är omöjligt?
 

2. Tre polare brukar göra hembränd sprit med var sin panna. Den första pannan kan fylla en butelj med brygd som har alkhoholhalt a% efter a timmar. Den andra pannan kan fylla samma butelj med brygd som är b% stark efter b timmar. Den tredje - med brygd som är c% stark efter c timmar. Polarna bestämde att fylla denna butelj med tre pannor tillsammans, vilket de också gjorde efter precis ett dygn. Hur stark är blandningen?


3. Låt oss kalla den 1 januari för en udda dag, den 2 januari för en jämn dag, den 3:e för udda, den 4:e för jämn osv. Någon gång i tiden inträffade det att tre söndagar var jämna dagar i januari. Bestäm veckodagen för den 20 januari detta år.


4. Det finns två positiva heltal med skillnaden 1. Är det möjligt att båda siffersummorna av dessa tal är jämnt delbara med 11?


5. Det finns ett snöre som är 16/31 meter långt. Man får vika ihop det i precis mitten en eller flera gånger. Hur kan man skära bort en bit som är exakt en halvmeter lång utan att göra några andra mätningar?


6. Peter och hans son samt Sten och hans son fiskade. Sten tog upp samma antal fiskar som hans son, medan Peter tog upp tre gånger så många som hans son. Hela gänget fångade 25 fiskar sammanlagt. Vad heter Peters son?


7. En bakterie hamnade i origo på en tom tallinje. Bakterien sätter igång att dela sig och bildar nya bakterier. Varje minut delar bakterierna sig i två delar, vilka sedan förflytter sig en enhet till vänster resp. till höger. Om två bakterier hamnar i samma punkt så dör båda. Hur ser fördelningen av bakterierna på tallinjen ut efter 2 timmar och 8 minuter?


8. Sten hade 7 potatisar, Peter hade 5 potatisar medan Kalle hade inga potatisar alls. De kokade alla potatisarna och delade jämnt på dessa. Som tack gav Kalle 12 godisbitar till Sten och Peter. Hur skulle de dela godisen på ett rättvist sätt? (Antag att alla potatisar var lika stora, samma gäller godisbitarna).
Lösning

9. Stryck bort 7 siffror i talet 3141592653589793 så att det kvarstående talet blir så stort som möjligt.


10. En grupp geologer vill resa runt en sjö i ödemarken. Med bilen som de har kan resan göras på 5 dagar. På basen vid sjöstranden finns ett stort bränseförråd. Tyvärr räker bilens bensintank bara för en dags körning, och bilen kan bära ett bränsleförråd som räcker till ytterligare 2 dagars resa. Man tänker sig att göra ett antal förberedande resor för att lämna bränsletankar på sjöstränderna för senare användning. Hur kan de förbereda och åstadkomma rundresan och hur mycket tid ska förberedelserna och resan ta?


11. Som bekant gäller att en dvärg antingen ljuger hela tiden eller talar alltid sanning. Vi råkade höra ett samtal mellan 4 dvärgar:
Bob till Dob: "Du är en lögnare".
Tob till Bob: "Du är en lögnare själv".
Rob till Tob: "De är båda lögnare" (han menar förstås Bob och Dob). Och efter ett tag: "Du också, förresten".
Vem eller vilka av dem talade sanning?


12. Ett positiv heltal är exakt 12 gånger större än dess siffersumma. Bestäm alla sådana tal.


13. Ett antal pjäser står på ett schackbräde så att i varje rad (både lodrät och vågrät) står minst två pjäser. Är det alltid möjligt att ta bort en del av pjäserna så att det blir kvar exakt en pjäs i varje rad?


14. Under ett gammalt ur med visare har två barn funnit en skatt av 61 växelmynt, sammanlagt 60 kronor. Visa att de kan dela skatten jämnt i alla fall.


15. a) Markera exakt en bokstav i varje ord av den här satsen så att alla
markerade bokstäver blir olika.
b) Visa att ingen skulle kunna markera exakt en bokstav i varje ord av
den här satsen så att alla markerade bokstäver blir olika.


16. I en gammal TV-täving fick en vinnare välja bland 3 dörrar. Balom en av dörrarna fanns en priskossa, bakom de andra dörrarna fanns ingenting. Efter att vinnaren hade pekat på en dörr gjorde programledaren alltid följande uppmuntrande trick: han öppnade en av de två icke-valda dörrarna och visade ett tomrum bakom. Sedan fick vinnaren välja ytterligare en gång bland de två stängda dörrarna (den dörr som vinnaren redan valt och den återstående dörren). För var och en av dörrarna, bestäm sannolikheten att kossan finns bakom den! Hur har programledarens trick påverkat de olika sannolikheterna?


17. Vi har en kran med vatten samt tre hinkar som rymmer 3, 4 respektive 5 liter vätska. En av dem, 3-litershinken, är full med konsentrerad saft, medan de övriga är tomma. Uppgiften är att få 6 liter blandning av saft med vatten i proportion 1:1. Man får hälla över vätska från kranen eller från en hink P till en annan hink Q eller till avloppet tills antingen Q blir full eller P blir tom. Hur kan man göra detta? (När man delar en blandning kan man anta att proportionen mellan saft och vatten är densamma i båda delar.)


18. Det finns två stubintrådar. Varje stubintråd får man tända från vilken ände som helst, och den brinner exakt 10 minuter. Tyvärr så brinner en stubintråd med icke-konstant hastighet, dvs. det är inte säkert att en halv tråd skulle brinna exakt 5 minuter. Hur kan man ändå mäta exakt 7,5 minuter med hjälp av de två stubintrådarna?


19. Lillebror delade upp en ask praliner lika på 8 asjetter och fick behålla resten (mindre än 8 praliner). Karlsson delade upp samma antal praliner lika på 9 asjetter och fick behålla resten också han (mindre än 9 praliner). Efter att Karlsson knyckte alla praliner från en av Lillebrors asjetter har han 13 praliner sammanlagt. Bestäm hur många praliner Lillebror har.


20. En elev badar olovligt i en cirkulär bassäng. När han befinner sig i mittpunkten kommer plötsligt en lärare vid kanten. Läraren kan inte simma fast han springer 4 gånger så fort som eleven simmar. Eleven springer dock fortare än läraren gör. Kan eleven smita iväg?


Monadens problem

1. Man skär en kvadrat från ett svart-vitt schackbräde. Kvadratens sidor är parallela med schackbrädets sidor, fast kan skära rutorna. Kvadratens area består av vita och svarta delar. Visa att skillnaden mellan de två areorna är högst en rutas area.


2. a) Visa att man kan dela talen 1, 2, 3, ..., 2002 i två grupper så att produkten av alla tal i den första gruppen är lika med summan av alla tal i den andra gruppen.
b) Visa att för varje heltal n > 5 kan man dela talen 1, 2, 3, ..., n i två grupper så att produkten av alla tal i den första gruppen är lika med summan av alla tal i den andra gruppen.


3. En ond kung vill kolla hur pass kloka hans rådgivare är. Han beslutar att alla rådgivare ska ställa upp sig i en kolonn. Sedan sätter han en vit eller en svart mössa på varje person. Varje rådgivare kan bara se mössorna på de personer som står framför honom. De ska nu gissa färgen på sin egen mössa. De får en gissning vardera och får bara säga "svart" eller "vit". De som gissar fel blir avrättade.
Innan proceduren sätter igång så kan rådgivarna komma överens om gissningsordningen och vad varje ord ska betyda för att så många som möjligt ska kunna klara sig. I en bästa strategi, vad är det maximala antalet rådgivare som inte kommer att klara sig? (Rådgivarna kan inte fuska så att de förmedlar information på något annat sätt. Bland annat får de inte försöka säga andra ord än "svart" och "vit", fuska med pauslängd, använda högre eller lägre röst, osv.)


4. Det finns 100 tunnelbanestationer i staden Mars-City som alla är förbundna med varandra. Om man stänger en station för ombyggnad så får inga tåg passera igenom den. Man vill välja ut ett antal stationer som ska stängas för ombyggnad. Visa att det går att välja exakt 31 sådana stationer på ett sådant sätt att alla övriga stationer fortfarande blir förbundna med varandra.


5. Ett gäng föredetta matematiker har blivit stråtrövare. Just nu delar de bytet. Alex, som är alfabetiskt sett den förste, föreslår hur bytet ska fördelas. Alla röstar för eller emot, inklusive Alex. Förslaget accepteras om minst hälften av dem är för, annars mördas Alex, och då måste Boris som är den andre i alfabetisk ordning ge sitt förslag, osv. Alla rövare är extremt logiska, och röstar först och främst i syftet att klara sig med livet i behåll. Om livet inte är hotat, då vill varje rövare roffa åt sig så mycket som möjligt. Till sist, om det inte påverkar de två första syftena, så vill de inte ta livet av en kompis i onödan - det skulle ju kunna bli nya affärer.
Bestäm hur bytet blir fördelat!


6. Finns det två icke-identiska andragradsekvationer och med reella rötter så att deras respektive koefficienter skiljer sig åt mindre än 0,001 medan deras större rötter skiljer sig åt med minst 1000?

  Alexandre Chapovalov