(gemensamt med prof. Boris Shapiro och fil. dr. Johan Thorbiörnson)
1. En lägenhet består av ett antal rum som kan
ha olika ytor. Det går att dela lägenheten mellan 2, 3
eller 4 hyresgäster så att varje person får samma
yta (fast antalet rum kan vara olika). Försök att hitta ett
exempel på en sådan lägenhet med så få
rum som möjligt. Kan du bevisa att mindre antal rum är
omöjligt?
2. Tre polare brukar göra hembränd sprit med var
sin panna. Den första pannan kan fylla en butelj med brygd som
har alkhoholhalt a% efter a timmar. Den andra pannan kan fylla
samma butelj med brygd som är b% stark efter b timmar.
Den tredje - med brygd som är c% stark efter c timmar.
Polarna bestämde att fylla denna butelj med tre pannor
tillsammans, vilket de också gjorde efter precis ett dygn. Hur
stark är blandningen?
3. Låt oss kalla den 1 januari för en udda dag,
den 2 januari för en jämn dag, den 3:e för udda, den
4:e för jämn osv. Någon gång i tiden inträffade
det att tre söndagar var jämna dagar i januari. Bestäm
veckodagen för den 20 januari detta år.
4. Det finns två positiva heltal med skillnaden 1. Är
det möjligt att båda siffersummorna av dessa tal är
jämnt delbara med 11?
5. Det finns ett snöre som är 16/31 meter långt.
Man får vika ihop det i precis mitten en eller flera gånger.
Hur kan man skära bort en bit som är exakt en halvmeter
lång utan att göra några andra mätningar?
6. Peter och hans son samt Sten och hans son fiskade. Sten
tog upp samma antal fiskar som hans son, medan Peter tog upp tre
gånger så många som hans son. Hela gänget
fångade 25 fiskar sammanlagt. Vad heter Peters son?
7. En bakterie hamnade i origo på en tom tallinje.
Bakterien sätter igång att dela sig och bildar nya
bakterier. Varje minut delar bakterierna sig i två delar, vilka
sedan förflytter sig en enhet till vänster resp. till
höger. Om två bakterier hamnar i samma punkt så dör
båda. Hur ser fördelningen av bakterierna på
tallinjen ut efter 2 timmar och 8 minuter?
8. Sten hade 7 potatisar, Peter hade 5 potatisar medan
Kalle hade inga potatisar alls. De kokade alla potatisarna och delade
jämnt på dessa. Som tack gav Kalle 12 godisbitar till Sten
och Peter. Hur skulle de dela godisen på ett rättvist
sätt? (Antag att alla potatisar var lika stora, samma gäller
godisbitarna).
Lösning
9. Stryck bort 7 siffror i talet 3141592653589793 så
att det kvarstående talet blir så stort som möjligt.
10. En grupp geologer vill resa runt en sjö i
ödemarken. Med bilen som de har kan resan göras på 5
dagar. På basen vid sjöstranden finns ett stort
bränseförråd. Tyvärr räker bilens
bensintank bara för en dags körning, och bilen kan bära
ett bränsleförråd som räcker till ytterligare 2
dagars resa. Man tänker sig att göra ett antal förberedande
resor för att lämna bränsletankar på
sjöstränderna för senare användning. Hur kan de
förbereda och åstadkomma rundresan och hur mycket tid ska
förberedelserna och resan ta?
11. Som bekant gäller att en dvärg antingen
ljuger hela tiden eller talar alltid sanning. Vi råkade höra
ett samtal mellan 4 dvärgar:
Bob till Dob: "Du är
en lögnare".
Tob till Bob: "Du är en lögnare
själv".
Rob till Tob: "De är båda
lögnare" (han menar förstås Bob och Dob). Och
efter ett tag: "Du också, förresten".
Vem
eller vilka av dem talade sanning?
12. Ett positiv heltal är exakt 12 gånger större
än dess siffersumma. Bestäm alla sådana tal.
13. Ett antal pjäser står på ett
schackbräde så att i varje rad (både lodrät och
vågrät) står minst två pjäser. Är
det alltid möjligt att ta bort en del av pjäserna så
att det blir kvar exakt en pjäs i varje rad?
14. Under ett gammalt ur med visare har två barn
funnit en skatt av 61 växelmynt, sammanlagt 60 kronor. Visa att
de kan dela skatten jämnt i alla fall.
15. a) Markera exakt en bokstav i varje ord av den
här satsen så att alla
markerade bokstäver blir
olika.
b) Visa att ingen skulle kunna markera exakt en
bokstav i varje ord av
den här satsen så att alla
markerade bokstäver blir olika.
16. I en gammal TV-täving fick en vinnare välja
bland 3 dörrar. Balom en av dörrarna fanns en priskossa,
bakom de andra dörrarna fanns ingenting. Efter att vinnaren hade
pekat på en dörr gjorde programledaren alltid följande
uppmuntrande trick: han öppnade en av de två icke-valda
dörrarna och visade ett tomrum bakom. Sedan fick vinnaren välja
ytterligare en gång bland de två stängda dörrarna
(den dörr som vinnaren redan valt och den återstående
dörren). För var och en av dörrarna, bestäm
sannolikheten att kossan finns bakom den! Hur har programledarens
trick påverkat de olika sannolikheterna?
17. Vi har en kran med vatten samt tre hinkar som rymmer 3,
4 respektive 5 liter vätska. En av dem, 3-litershinken, är
full med konsentrerad saft, medan de övriga är tomma.
Uppgiften är att få 6 liter blandning av saft med vatten i
proportion 1:1. Man får hälla över vätska från
kranen eller från en hink P till en annan hink Q eller till
avloppet tills antingen Q blir full eller P blir tom. Hur kan man
göra detta? (När man delar en blandning kan man anta att
proportionen mellan saft och vatten är densamma i båda
delar.)
18. Det finns två stubintrådar. Varje
stubintråd får man tända från vilken ände
som helst, och den brinner exakt 10 minuter. Tyvärr så
brinner en stubintråd med icke-konstant hastighet, dvs. det är
inte säkert att en halv tråd skulle brinna exakt 5
minuter. Hur kan man ändå mäta exakt 7,5 minuter med
hjälp av de två stubintrådarna?
19. Lillebror delade upp en ask praliner lika på 8
asjetter och fick behålla resten (mindre än 8 praliner).
Karlsson delade upp samma antal praliner lika på 9 asjetter och
fick behålla resten också han (mindre än 9
praliner). Efter att Karlsson knyckte alla praliner från en av
Lillebrors asjetter har han 13 praliner sammanlagt. Bestäm hur
många praliner Lillebror har.
20. En elev badar olovligt i en cirkulär bassäng.
När han befinner sig i mittpunkten kommer plötsligt en
lärare vid kanten. Läraren kan inte simma fast han springer
4 gånger så fort som eleven simmar. Eleven springer dock
fortare än läraren gör. Kan eleven smita iväg?
1. Man skär en kvadrat från ett svart-vitt
schackbräde. Kvadratens sidor är parallela med
schackbrädets sidor, fast kan skära rutorna. Kvadratens
area består av vita och svarta delar. Visa att skillnaden
mellan de två areorna är högst en rutas area.
2. a) Visa att man kan dela talen 1, 2, 3, ..., 2002
i två grupper så att produkten av alla tal i den första
gruppen är lika med summan av alla tal i den andra gruppen.
b)
Visa att för varje heltal n > 5 kan man dela talen
1, 2, 3, ..., n i två grupper så att produkten av
alla tal i den första gruppen är lika med summan av alla
tal i den andra gruppen.
3. En ond kung vill kolla hur pass kloka hans rådgivare
är. Han beslutar att alla rådgivare ska ställa upp
sig i en kolonn. Sedan sätter han en vit eller en svart mössa
på varje person. Varje rådgivare kan bara se mössorna
på de personer som står framför honom. De ska nu
gissa färgen på sin egen mössa. De får en
gissning vardera och får bara säga "svart" eller
"vit". De som gissar fel blir avrättade.
Innan
proceduren sätter igång så kan rådgivarna
komma överens om gissningsordningen och vad varje ord ska betyda
för att så många som möjligt ska kunna klara
sig. I en bästa strategi, vad är det maximala antalet
rådgivare som inte kommer att klara sig? (Rådgivarna kan
inte fuska så att de förmedlar information på något
annat sätt. Bland annat får de inte försöka säga
andra ord än "svart" och "vit", fuska med
pauslängd, använda högre eller lägre röst,
osv.)
4. Det finns 100 tunnelbanestationer i staden Mars-City som
alla är förbundna med varandra. Om man stänger en
station för ombyggnad så får inga tåg passera
igenom den. Man vill välja ut ett antal stationer som ska
stängas för ombyggnad. Visa att det går att välja
exakt 31 sådana stationer på ett sådant sätt
att alla övriga stationer fortfarande blir förbundna med
varandra.
5. Ett gäng föredetta matematiker har blivit
stråtrövare. Just nu delar de bytet. Alex, som är
alfabetiskt sett den förste, föreslår hur bytet ska
fördelas. Alla röstar för eller emot, inklusive Alex.
Förslaget accepteras om minst hälften av dem är för,
annars mördas Alex, och då måste Boris som är
den andre i alfabetisk ordning ge sitt förslag, osv. Alla rövare
är extremt logiska, och röstar först och främst i
syftet att klara sig med livet i behåll. Om livet inte är
hotat, då vill varje rövare roffa åt sig så
mycket som möjligt. Till sist, om det inte påverkar de två
första syftena, så vill de inte ta livet av en kompis i
onödan - det skulle ju kunna bli nya affärer.
Bestäm
hur bytet blir fördelat!
6. Finns det två icke-identiska andragradsekvationer och med reella rötter så att deras respektive koefficienter skiljer sig åt mindre än 0,001 medan deras större rötter skiljer sig åt med minst 1000?