Здесь собраны все задачи математических боев и олимпиад турнира 2012 года, задачи «Математического квадрата» и конкурса капитанов, а также более сотни избранных задач двух прошлых турниров 2006 и 2007 года – всего около 400 задач. Мы разделили их на игровые (задачи «Математического квадрата» и конкурса капитанов) и основные (все остальные). Все игровые задачи – не новые, поэтому они выделены в отдельную главу и публикуются без указания автора. У основных задач автор, как правило, указан, а в тех редких случаях, когда он неизвестен, указан источник задачи или написано «Фольклор». Стоит отметить, что среди задач основных соревнований новые авторские задачи составляют свыше 80%. Для турниров математических боёв это беспрецедентно много. Традиция идет от самых первых турниров, где все 100% задач были новыми и авторскими – благодаря настойчивости их первого организатора С.И. Токарева. С ростом популярности турнира росло число лиг, задач требовалось больше, новизна всех задач стала нереальной. Впрочем, отступления от требования новизны допускаются почти исключительно в тех лигах, где школьники по разным причинам не обладают широким кругозором по части олимпиадных задач.
Основных задач набралось около трёхсот. Читателю непросто сориентироваться в таком массиве, разбиение по вариантам и по хронологии тут мало помогает. Для удобства поиска и работы мы разбили задачи на темы, снабженные подзаголовками, а темы сгруппировали в четыре раздела: логика, комбинаторика, арифметика/алгебра и геометрия. Далее пронумеровали задачи от 1 до 275 и для каждой указали, каким классам она подходит. Как обычно, наиболее трудные задачи помечены одной или двумя звездочками.
Названия тем являются одновременно как бы статьями рубрикатора. За подзаголовком следуют номера дополнительных задач. Эти задачи находятся в других темах или среди игровых, но тематически подходят. Игровые задачи упорядочены и расположены в соответствии с особенностями «Математического» квадрата. Они нумеровались кодами: например, код 8Ал4 означает 8 класс, линейка «Алгебра», 4-я задача.
Все основные задачи снабжены полными решениями, вынесенными в отдельную главу. К некоторым задачам приведены два решения. Иногда после решения под заголовком «Путь к решению» приведены соображения, как такое решение можно придумать.
Все игровые задачи снабжены ответами, а также указаниями или краткими решениями.
Мы старались выбирать короткие и содержательные решения и излагать их так, чтобы они были доступны ученикам соответствующего класса – и по материалу, и по идеям. Иногда ради этого приходилось жертвовать краткостью. В других случаях мы приводили два решения: скажем, более длинное – для семиклассников, затем более короткое – для восьмиклассников.
Для желающих узнать состав вариантов, подборки задач по годам и по авторам созданы соответствующие списки номеров в рубрикаторе. При этом в списках для олимпиад порядок в списке соответствует порядку на олимпиаде, а в остальных списках номера идут в порядке возрастания.
Тексты условий задач в данной брошюре могут несколько отличаться от тех вариантов, которые давались во время турнира. Исправления делались для единообразия формулировок и устранения двусмысленностей и языковых шероховатостей. Большинство решений брошюры сообщены нам членами методической комиссии и авторами задач, за что мы им очень благодарны. Мы, однако, несем ответственность за все ошибки и опечатки этой книги.