За последние 20 лет математические бои в России широко распространились. Учителя математических классов и руководители кружков оценили это соревнование как очень полезное для заинтересованных школьников. Обсуждение задач в кругу самих учащихся – как в процессе решения, так и на самом бое – во-первых, служит заметным дополнительным источником знаний, а во-вторых, убеждает учащихся в объективном характере таких знаний, что даёт сильный стимул к дальнейшему изучению математики. Работа в команде привлекает даже тех школьников, которые лично для себя не захотели бы дополнительно заниматься математикой. Турниры проводятся на школьном, городском и даже общероссийском уровне, и нередки случаи, когда мест для всех желающих команд просто не хватает. Итак, решено: играем матбой и лучше – против соседнего класса, кружка, школы или даже города! Но чтобы не ударить в грязь лицом, надо подготовиться. Способов много, и эта книга поможет выбрать подходящие и воплотить их.
Разумеется, здесь, как и при подготовке к другим математическим соревнованиям, главным средством было и будет решение задач и изучение необходимой теории. Если противник решил всё, а ваша команда ничего – то при любой системе подсчета победы не жди. Книг с теорией и задачами издано много, немало материала можно найти и в интернете. Заметим, однако, что большинство сборников задач посвящены, в основном, задачам олимпиад, а задачи матбоев имеют свою специфику, о которой мы ещё скажем ниже. Немногочисленные сборники задач математических боёв публикуются же обычно без решений или с краткими указаниями вместо решений. Да и большинство задач таких подборок не блещет оригинальностью, попадая в варианты боёв, в основном, из сборников олимпиад. В этом отношении Турнир им. А.П. Савина является счастливым исключением, с самого начала сохраняя традицию использовать по большей части авторские задачи. Почти 400 задач данного сборника представляют задачи и варианты Турнира. Все задачи снабжены исчерпывающими решениями, и даже те решения, что выглядят подозрительно краткими, являются полными – просто из решения «выжата вода».
Мы постарались структурировать их так, чтобы задачи было легко найти и использовать для подготовки школьников от 6 до 9 классов и команд самого разного уровня. В отличие от большинства сборников, задачи разбиты не по вариантам (что бывает нужно довольно редко), а по темам (которые зависят как от материала условия, так и от метода решения). Если задача, как это часто бывает, может быть отнесена к нескольким темам, то она помещается в одну из них, а в остальных темах на задачу дана ссылка. Чтобы подобрать нужную трудность, при каждой задаче указаны классы, которым она подходит. Кроме того, полезно помнить, что задачи игры «Математический квадрат» легче задач устной олимпиады для данного класса, а те, в свою очередь, легче задач командной олимпиады и задач боёв, чья трудность ещё зависит от лиги (см. Учебный бой по готовому варианту).
Бой начинается с конкурса капитанов. Двум капитанам или представителям команд даётся устная задача «на ответ», обычно несложная, но часто – с подвохом. Побеждает тот, кто первым скажет правильный ответ (часто, впрочем, выигрывает тот, кто не торопится – противник даёт неправильный ответ и проигрывает). Поскольку от капитана требуется в первую очередь основательность, на конкурс капитанов нередко выставляют другого участника – быстро соображающего, но «бегуна на короткие дистанции». Для тренировки мы собрали около двух десятков таких задач в главе «Конкурс капитанов». К ним можно ещё добавить наиболее лёгкие задачи из «Математического квадрата». Все эти задачи можно использовать также для устной разминки всех участников в начале занятия кружка.
На олимпиадах ценятся задачи с компактным и легко проверяемым решением и нещадно отбраковываются задачи, по которым можно ожидать от школьников длинных решений. В самом деле, кому из жюри хочется читать или выслушивать «оперы» и долго и нудно доказывать школьнику, почему он неправ. А в математическом бое соль в том и состоит, чтобы при изложении решения завязывалась дискуссия между докладчиком и оппонентом. Поэтому используются задачи с подвохами, с разбором случаев, которые можно и пропустить, задачи, решающиеся в два или несколько ходов. Соответственно, полные и безупречные решения таких задач получить и изложить очень непросто. Найдя основную идею, стоит подумать, как довести её до решения, ещё лучше – до компактного или хотя бы просто излагаемого решения. Получив полное решение, надо его тщательно проверить и перепроверить. Тут очень помогает командная работа. Хорошо иметь в команде одного-двух скептиков, которые будут выслушивать решения и «цепляться» к сомнительным местам и неясностям. Даже если решение и в самом деле безупречно, они своими вопросами предвосхитят вопросы оппонента, тем самым лишив их эффекта неожиданности. Кроме того, такое выслушивание решений позволяет оценить степень вязкости задачи. Поскольку на какие-то задачи придется вызывать соперников, то лучше вызывать их на самые вязкие задачи: пусть лучше они ошибаются и теряют очки при рассказе!
***Ошибки, возникающие «естественным» путем, обычно достаточно прозрачны и возникают непредсказуемо. Поэтому для целей тренировки их недостаточно. Руководителю надо взять на себя нелегкий труд рассказывать ученикам «липовые» решения, сначала заранее предупредив, а потом и без предупреждения. Но где взять такие решения? Первый источник – софизмы. Их, к сожалению, немного, но пару десятков в Интернете найти всё-таки удаётся. Но софизмы, увы, имеют обычно мало общего с теми ошибками, которые допускают школьники на боях. Более похожи на них те распространенные, но неполные или неправильные решения, которые попадаются в книгах торопливых авторов. Иные читатели даже предпочитают такие решения правильным ввиду их «простоты и краткости»! В своей книге [ТГ] мы поместили пару десятков таких решений вслед за правильными под рубрикой «Ложный след». Их тоже можно использовать, но надо иметь в виду, что задачи той книги сложнее, чем этой. Наконец, опытный преподаватель и сам не раз сталкивался в своей практике с неправильными решениями, где ошибки вовсе не очевидны. Осталось вспомнить эти решения, оформить и употребить в дело.
По зрелом размышлении авторы взяли на себя труд сделать подборку таких решений и в данной книге. 26 задач с псевдорешениями, их разоблачениями и отсылками к правильным решениям читатель найдет в главе «Липовая роща». Пытливый ученик может поработать с этими решениями и самостоятельно. Прочитайте задачу, порешайте её некоторое время, а затем прочтите предложенное псевдорешение и попытайтесь найти в нём все ошибки и недочёты. Запишите их коротко, а затем прочтите правильное решение (ссылка на него есть в конце решения). Попробуйте ещё раз найти все ошибки и оценить, сколько они стоят в очках. Наконец, почитайте разоблачение и сравните его с вашим списком ошибок и их оценкой.