Условия задач XIX – XX Турниров городов
XIX Турнир городов
1997-98 уч. год
Осенний тур
Младшие классы, тренировочный вариант
1.1 [3] По неподвижному эскалатору человек спускается быстрее, чем поднимается. Что быстрее: спуститься и подняться по поднимающемуся эскалатору или спуститься и подняться по спускающемуся эскалатору? (Предполагается, что все скорости, о которых идет речь, постоянны, причём скорости эскалатора при движении вверх и вниз одинаковы, а скорость человека относительно эскалатора всегда больше скорости эскалатора.)
1.2. [3] Докажите, что уравнение x2 + y2 – z2 = 1997 имеет бесконечно много решений в целых числах.
1.3. [4] В квадрате ABCD точки K и M принадлежат сторонам BC и CD соответственно, причём AM – биссектриса угла KAD. Докажите, что длина отрезка AK равна сумме длин отрезков DM и BK.
1.4. а) [2] Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки шахматной доски 3×3? Нарисуйте такие прямые и докажите, что меньшим числом прямых обойтись нельзя. (Чтобы клетка была разрезана, прямая должна проходить через внутреннюю точку этой клетки.)
б) [4] Та же задача для доски 4×4.
XIX Турнир городов
1997-98 уч. год
Осенний тур
Старшие классы, тренировочный вариант
2.1. а) [2] Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки шахматной доски 3×3? Нарисуйте такие прямые и докажите, что меньшим числом прямых обойтись нельзя. (Чтобы клетка была разрезана, прямая должна проходить через внутреннюю точку этой клетки.)
б) [3] Та же задача для доски 4×4.
2.2. [3] a и b – две данные стороны треугольника. Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной c делили эту сторону на три равных отрезка? При каких a и b такая сторона c существует?
2.3. [4] Докажите, что уравнение
xy(x – y) + yz(y – z)+ zx(z – x) = 6
имеет бесконечно много решений в целых числах.
2.4. [4] На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга. Докажите, что такая расстановка – единственная.
XIX Турнир городов
1997-98 уч. год
Осенний тур
Младшие классы, основной вариант
3.1. [3] Последовательность {xn} определяется условиями: x1 = 19; x2 = 97; xn+2 = xn – 1/xn+1. Докажите, что среди членов последовательности найдётся нуль. Найдите номер этого члена.
3.2.[3] M – середина стороны BC треугольника ABC. Постройте параллельный BC отрезок с концами на сторонах AB и AC, который виден из точки M под прямым углом.
3.3. [5] Первоначально на каждом поле доски 1×n стоит шашка (иначе говоря, столбик из одной шашки). Очередным ходом можно взять любой столбик и прыгнуть им (в пределах доски) в любую сторону на столько клеток, сколько в нём шашек; если при этом столбик попадет на непустую клетку, он ставится на стоящий там столбик и объединяется с ним. Докажите, что за n–1 ход можно собрать все шашки на одной клетке.
3.4. [5] Две окружности пересекаются в точках A и B. К ним проведена общая касательная – та из двух, которая расположена ближе к точке B, чем к точке A. Она касается первой окружности в точке C, а второй – в точке D. Прямая CB пересекла вторую окружность второй раз в точке E. Докажите, что AD – биссектриса угла CAE.
3.5. [8] Раскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?
3.6. [9] Правильный треугольник прямыми, параллельными сторонам, разбит на 100 равных треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску. Какое максимальное число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений?
XIX Турнир городов
1997-98 уч. год
Осенний тур
Старшие классы, основной вариант
4.1.[4] CM и BN – медианы треугольника ABC, P и Q – точки соответственно на AB и AC такие, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Оказалось, что AP = AQ. Следует ли из этого, что треугольник ABC равнобедренный?
4.2. Назовем многоугольники плоско-равными, если их можно совместить с помощью поворота или параллельного переноса.
Верны ли утверждения:
а) [1] Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
б) [2] Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
в) [4] Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два плоско-равных многоугольника, то его можно разбить и отрезком на два плоско-равных многоугольника.
4.4. а) [4] На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) [4] Тот же вопрос про правильные пятиугольники.
4.5. [8] Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы).
4.6. а) [7] Правильный треугольник прямыми, параллельными сторонам, разбит на 100 равных треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску. Какое максимальное число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений?
б) [7] Тот же вопрос для правильного треугольника, разбитого аналогично на 81 треугольную клетку.
XIX Турнир городов
1997-98 уч. год
Весенний тур
Младшие классы, тренировочный вариант
5.1. [3] Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех – Аня, меньше всех – Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него дается 1 очко, у одного игрока – 2 очка. Слова, общие у всех трех игроков, вычеркиваются. Может ли случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех – Аня?
5.2. [3] Шахматный король обошел всю доску, побывав на каждом поле по одному разу и вернувшись последним ходом на исходное поле. Докажите, что среди ходов, сделанных королем, четное число ходов по диагонали.
5.3. [3] AB и CD – отрезки, лежащие на двух сторонах угла (O – вершина угла, A лежит между O и B, C – между O и D). Через середины отрезков AD и BC проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках M и N (M, A и B лежат на одной стороне угла, N, C и D – на другой). Докажите, что OM/ON = AB/CD.
5.4. [4] Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? (Разумеется, если хотя бы одна из цифр числа – ноль, то и произведение равно нулю.)
5.5. [5] Барон Мюнхгаузен утверждает, что смог разрезать некоторый равнобедренный треугольник на три треугольника так, что из любых двух частей тоже можно было сложить равнобедренный треугольник. Не хвастает ли барон?
XIX Турнир городов
1997-98 уч. год
Весенний тур
Старшие классы, тренировочный вариант
6.1. [3] Барон Мюнхгаузен утверждает, что ему удалось составить некоторый прямоугольник из нескольких подобных между собой непрямоугольных треугольников. Можно ли ему верить? (Среди подобных треугольников могут быть и равные).
6.2. [3] Для каждого четырёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех четырёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? (Разумеется, если хотя бы одна из цифр числа – ноль, то и произведение равно нулю).
6.3. [3] В какое наибольшее число цветов можно раскрасить доску 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками своего цвета?
6.5. [5] В угол вписана окружность, O – её центр. Через точку A, симметричную точке O относительно одной из сторон угла, провели к окружности касательные, точки пересечения которых с дальней от точки A стороной угла – B и C. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на биссектрисе данного угла.
XIX Турнир городов
1997-98 уч. год
Весенний тур
Младшие классы, основной вариант
7.1. [3] Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого из них делится на каждое из остальных?
7.2. [3] O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. На прямой AB отмечена точка M так, что углы MAD и AMO равны. Докажите, что MD = MC.
7.3. [4] Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей. Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7.
7.4. [4] Путешественник посетил деревню, каждый житель которой либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Все жители деревни встали в круг лицом к центру, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли тот. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.
7.5. [7] Квадрат разбит прямыми на 25 одинаковых квадратиков – клеток. В некоторых клетках нарисована одна из диагоналей так, что никакие две нарисованные диагонали не имеют общей точки (даже общего конца). Каково наибольшее возможное число нарисованных диагоналей?
7.6. [8] За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передает часть своих орехов соседу справа: половину – если у дающего было чётное число или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.
XIX Турнир городов
1997-98 уч. год
Весенний тур
Старшие классы, основной вариант
8.2. [4] Квадрат со стороной 1 разрезан на прямоугольники. В каждом прямоугольнике выбрали одну из двух меньших сторон (если прямоугольник – квадрат, то выбрали любую из четырёх сторон). Докажите, что сумма всех выбранных сторон не меньше 1.
8.3. а) [2] На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа и вместо них написать их разность (из большего вычитается меньшее). После семи таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно равняться 97?
б) [3] На доске выписаны числа 1, 21, 22, 23, ..., 210. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После нескольких таких операций на доске будет только одно число. Чему оно может быть равно?
8.4. [5] Точка M внутри выпуклого четырехугольника ABCD такова, что треугольники AMB и CMD – равнобедренные и у каждого из них угол при вершине M равен 120°. Докажите, что найдется такая точка N, что треугольники BNC и DNA –правильные.
8.5. [6] Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, где между некоторыми полями вставлены перегородки. Если ладья может обойти все поля, не перепрыгивая через перегородки, то лабиринт называется хорошим, иначе – плохим. Каких лабиринтов больше – хороших или плохих?
8.6. а) [6] Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладет рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.
б) [6] Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?
XX Турнир городов
1998-99 уч. год
Осенний тур
Младшие классы, тренировочный вариант
1.1. [3] Куб с ребром длины 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трех направлений). В некотором кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три слоя 1×20×20, параллельных граням куба. Найдите сумму всех чисел вне этих слоев.
1.2. [3] Квадрат целого числа имеет вид ...09 (оканчивается цифрами 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра – четная.
1.3. [4] В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат внутри сторон BC, CA и AB соответственно. Известно, что ∠AC'B' = ∠B'A'C, ∠CB'A' = ∠A'C'B, ∠BA'C' = ∠C'B'A. Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон.
1.4. [4] Двенадцать кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: “До сих пор соврали всего один раз”. Другой сказал: “А теперь – дважды”. “А теперь – трижды” – сказал третий, и так далее до двенадцатого, который сказал: “А теперь соврали двенадцать раз”. Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же всего раз соврали кандидаты?
1.5. [5] Назовем крокодилом шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на m клеток по вертикали или по горизонтали и затем на n клеток в перпендикулярном направлении. Докажите, что для любых m и n можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в два цвета (для каждых конкретных m и n своя раскраска), что любые две клетки, соединенные одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.
XX Турнир городов
1998-99 уч. год
Осенний тур
Старшие классы, тренировочный вариант
2.1. [3] Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ... , 19 г. Девять их них – железные, девять – бронзовые и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.
2.2. [3] n бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причем эта точка находится внутри всей области плоскости, покрытой кругами. Эта область представляет собой “многоугольник” с криволинейными сторонами. Найдите его периметр.
2.3. [4] На шахматной доске отметили 17 клеток. Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню нужно не менее трех ходов для попадания с одной из них на другую.
2.4. [4] Рассматриваются такие наборы (x1, x2, ..., x20) чисел, заключенных между 0 и 1, что x1×x2×...×x20 = (1 – x1)(1 – x2)...(1 – x20). Найдите среди этих наборов такой, для которого значение произведения x1×x2×...×x20 максимально.
2.5. Группа психологов разработала тест, пройдя который каждый человек получает оценку – показатель его умственных способностей. За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений показателей всех жителей этой страны.
а) [1] Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.
б) [3] После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
в) [2] Группа граждан страны В эмигрировала в страну Г, а группа граждан Г – в страну Д. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на противоположное – часть жителей Д переехала в Г, а часть жителей Г – в В. Информационные агенства утверждают, что рейтинги всех трех стран опять выросли (по сравнению с теми, которые были после первого переезда, но до начала второго). Может ли такое быть?
(Предполагается, что за рассматриваемое время показатели граждан не изменились, никто не умер и не родился).
XX Турнир городов
1998-99 уч. год
Осенний тур
Младшие классы, основной вариант
3.1. [3] a и b – натуральные числа. Докажите, что если НОК(a, a + 5) = HOK(b, b + 5), то a = b.
3.2. [4] У Игоря и Вали есть по белому квадрату 8×8, разбитому на клетки 1×1. Они закрасили по одинаковому числу клеток на своих квадратах в синий цвет. Докажите, что удастся так разрезать эти квадраты на доминошки 2×1, что и из доминошек Игоря и из доминошек Вали можно будет сложить по квадрату 8×8 с одной и той же синей картинкой.
3.3. [5] Прямая AB пересекает две равные окружности и параллельна их линии центров, причем все точки пересечения прямой AB с окружностями лежат между A и B. Через точку A провели касательные к окружности, ближайшей к A, через точку B – касательные к окружности, ближайшей к B. Эти четыре касательные образовали четырехугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
3.4. [6] В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.
3.5. [7] Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.
3.6. [7] Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.
XX Турнир городов
1998-99 уч. год
Осенний тур
Старшие классы, основной вариант
4.1. а) [2] Докажите, что если НОК(a, a+5) = HOK(b, b+5) (a, b – натуральные), то a = b.
б) [3] Могут ли НОК(a, b) и НОК(а+с, b+с) быть равны?
4.2. [4] Прямая AB пересекает две равные окружности и параллельна их линии центров, причем все точки пересечения прямой AB с окружностями лежат между A и B. Через точку A провели касательные к окружности, ближайшей к A, через точку B – касательные к окружности, ближайшей к B. Эти четыре касательные образовали четырехугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
c1 |
c2 |
c3 |
4.3. [5] В таблицу записано 9 чисел:
Известно, что 6 чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы равны между собой:
a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3.
Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений ее столбцов: a1a2a3 + b1b2b3 + c1c2c3 = a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3.
4.4. [6] За круглым столом были приготовлены 12 мест для жюри с указанием имени на каждом месте. Николай Николаевич, пришедший первым, по рассеянности сел не на свое, а на следующее по часовой стрелке место. Каждый член жюри, подходивший к столу после этого, занимал свое место или, если оно уже было занято, шел вокруг стола по часовой стрелке и садился на первое свободное место. Возникшее расположение членов жюри зависит от того, в каком порядке они подходили к столу. Сколько может возникнуть различных способов рассадки жюри?
4.5. (Багаж в Московском метрополитене) [7] Будем называть размером прямоугольного параллелепипеда сумму трех его измерений – длины, ширины и высоты. Может ли в некотором прямоугольном параллелепипеде поместиться больший по размеру прямоугольный параллелепипед?
XX Турнир городов
1998-99 уч. год
Весенний тур
Младшие классы, тренировочный вариант
5.1. [3] Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в пять раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?
5.2. [4] На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Дано: AC = 1 см, BC = 3 см. В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C?
5.3. [4] На доске написано несколько натуральных чисел: a0, a1, a2, ..., an. Пишем на другой доске следующие числа: b0 – сколько всего чисел на первой доске; b1 – сколько там чисел, больших единицы; b2 – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c0, c1, c2, ..., построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b0, b1, b2, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.
5.4. [5] На плоскости нарисован черный равносторонний треугольник. Имеется девять треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на плоскости так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть черного треугольника (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?
5.5. [5] Квадрат разрезали восемнадцатью прямыми, из которых девять параллельны одной стороне квадрата, a девять – другой, на сто прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
XX Турнир городов
1998-99 уч. год
Весенний тур
Старшие классы, тренировочный вариант
6.1. [3] В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найдите последнее число.
6.2. [3] На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Дано: AC = 1 см, BC = 3 см. В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C ?
6.3. [3] На доске написано несколько натуральных чисел: a0, a1, a2, ..., an. Пишем на другой доске следующие числа: b0 – сколько всего чисел на первой доске; b1 – сколько там чисел, больших единицы; b2 – сколько чисел, больших двойки, и т. д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c0, c1, c2, ..., построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b0, b1, b2, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.
6.4. [5] На плоскости нарисован черный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскости так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть черного квадрата (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?
6.5. [5] Игра происходит на клетчатом поле 9×9. Играют двое, ходят по очереди, начинает первый. Он ставит в свободные клетки крестики, второй игрок – нолики. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество строк и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов, – число K, и количество строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков, – число Н (всего строк и столбцов – 18). Разность K – Н считается выигрышем первого. Найдите такое значение В, для которого одновременно выполнены два условия:
1) первый может обеспечить себе выигрыш не меньше В, как бы ни играл второй;
2) второй всегда может проиграть не больше В, как бы ни играл первый. [1]
XX Турнир городов
1998-99 уч. год
Весенний тур
Младшие классы, основной вариант
7.1. [3] В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет. Какую максимальную сумму можно извлечь из банка и как это сделать?
7.2. [4] О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Докажите, что если окружность, проходящая через точки A, B и O, касается прямой BC, то окружность, проходящая через точки B, C и O, касается прямой CD.
7.3. [4] Играют двое. Первый выписывает в строку слева направо цифры, произвольно чередуя 0 и 1, пока всех цифр не станет всего 1999. Каждый раз после того, как первый выписал очередную цифру, второй меняет между собой две цифры из уже написанного ряда (когда написана только одна цифра, второй пропускает ход). Всегда ли второй может добиться того, чтобы после его последнего хода расположение цифр было симметричным относительно средней цифры?
7.4. [6] 2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n по порядку. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.
7.5. [6] Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. RS – средняя линия, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B.
7.6. [9] Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.
XX Турнир городов
1998-99 уч. год
Весенний тур
Старшие классы, основной вариант
8.1. [4] В море плавает предмет, имеющий форму выпуклого многогранника. Может ли случиться, что 90% его объема находится ниже уровня воды и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?
8.2. [4] ABCD – четырехугольник, вписанный в окружность с центром в точке O. Окружности, описанные вокруг треугольников ABO и CDO, пересеклись второй раз в точке F. Докажите, что окружность, проходящая через точки A, F и D, проходит через точку E пересечения отрезков AC и BD.
8.3. [5] Найдите все пары целых чисел (x, y), для которых оба числа x3 + y и x + y3 делятся на x2 + y2.
8.4. [5] 2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n по порядку. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.
8.5. Для каждого целого неотрицательного числа i определим число M(i) следующим образом: запишем число i в двоичной форме; если число единиц в этой записи четно, то M(i) = 0, а если нечетно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ...).
a) [2] Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ..., M(1000). Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.
б) [5] Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ..., M(1000000). Докажите, что число таких членов последовательности, что M(i) = M(i + 7), не меньше 450000.
8.6. [8] Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.
[1] Такое число называется ценой игры.