Очередная книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена занятиям по геометрии (а именно геометрическим задачам на максимум и минимум) со школьниками от 7 до 10 класса. В нее вошли разработки девяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для преподавателя.
Значительный объём книжки занимает список дополнительных задач, их решения и комментарии. Приведён список использованной литературы, а также указаны авторы задач. Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов.
Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям элементарной геометрии.
Скачать Демо-версию книги (pdf)
Эта книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена экстремальным планиметрическим задачам, то есть задачам, в которых рассматриваются наибольшее или наименьшее значение каких-либо геометрических величин. Постановка и решение таких задач имеют древнюю историю. Уже в «Началах» Евклида можно встретить задачу: «Если даны длины двух сторон треугольника, то наибольшую площадь он будет иметь тогда, когда эти стороны составляют прямой угол».
В окружающем мире многое происходило и происходит по экстремальным законам. Согласно Евклиду, даже ослик, ничего не ведающий о математике, бежит к сену кратчайшим путём. Возможно, поэтому экстремальным задачам уделяли большое внимание выдающиеся ученые – математики разных эпох: Архимед, Герон, Птолемей, Кеплер, Ферма, Торричелли, Лейбниц, Штейнер, Эйлер и многие другие.
К сожалению, в школьном курсе по разным причинам не уделяется должного внимания геометрическим задачам на экстремум. В лучшем случае, такие задачи появляются после того, как в старших классах школьники знакомятся с производной. Поэтому всё сводится к решению стандартных задач «с геометрическим содержанием» стандартными методами. Но экстремальная геометрия содержит богатый материал, демонстрирующий мощь и силу изученных ранее формул и теорем, уместность разнообразных дополнительных построений, естественность применения геометрических преобразований. Кроме того, многие задачи демонстрируют тесную взаимосвязь алгебры и геометрии, что представляется важным в школьном курсе математики.
Экстремальные задачи играют существенную роль во многих разделах современной математики и ее приложений. Некоторые из них до сих пор не решены. Также подчеркнём, что экстремальные задачи близки к «жизненным», так как в жизни важно научиться находить наилучший вариант в той или иной ситуации. Такие задачи наверняка встретятся сегодняшним школьникам в их взрослой деятельности: в технике, инженерии, компьютерных технологиях, архитектуре, и пр. Мы считаем, что решение таких задач школьниками проецируется на успешное решение задач в будущем. Кроме того, эта область геометрических знаний очень красива и эмоциональна, поэтому не должна находиться «на обочине» школьной математики.
Ограниченный объем книжки вынудил авторов включить в неё только планиметрические задачи. Также за рамками книжки сознательно оставлены задачи, требующие применения фактов математического анализа. Кроме того, мы избегали задач, решение которых чересчур громоздко, или требует знаний, далеко выходящих за пределы базового школьного курса геометрии (последнее в меньшей степени относится к занятиям 8 и 9). Основная цель – познакомить школьников с определённым кругом идей и приёмов, решающих экстремальные геометрические задачи.
Предлагаемая книжка содержит девять занятий математического кружка. Как обычно, в материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя: несколько подробно разобранных типовых задач по теме; упражнения и задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя (в том числе, и в начале занятия, содержащие перечень необходимых предварительных сведений). Разбиение на занятия старается максимально учитывать наличие или отсутствие сведений, которые учащиеся имеют на тот или иной момент в соответствии со школьной программой, но в некоторых случаях даются комментарии для «продвинутых» школьников, которые обладают знаниями сверх базовой школьной программы. Задачи первых шести занятий сгруппированы по методам решения, а в следующих трёх занятиях рассматриваются конкретные геометрические конструкции.
Отдельным списком представлены дополнительные задачи различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть – дополняет их новыми идеями и методами (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также приведены подробные решения. Для удобства, в конце каждого занятия приведен список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и углубления. Следует учесть, что есть задачи, которые могут быть отнесены к нескольким занятиям.
В конце книжки представлен список литературы и веб-ресурсов, среди которых – как источники предложенных задач, так и книги, которые могут быть полезны тем, кто заинтересуется данной тематикой. В некоторых случаях в тексте книжки даются прямые ссылки с указанием номера из этого списка (в квадратных скобках).
Краткое содержание занятий.
Занятие 1. Расстояния: от точки до фигуры, между фигурами. Ориентировано на учащихся 7 классов. Посвящено обоснованию и применению понятий, связанных с расстояниями на плоскости. Рассматриваются задачи, решение которых требует применения определений различных видов расстояний, неравенства треугольника, сравнения перпендикуляра и наклонной к прямой, проведённых из одной точки. Рассматриваемые приёмы и методы являются базовыми для решения задач следующих занятий.
Занятие 2. Кратчайшие пути. Ориентировано на школьников 7 – 8 классов. Задачи этого занятия содержат поиски кратчайших путей в несложных геометрических конструкциях. Рассматривается класс задач, для решения которых ведущую роль играют применение осевой симметрии или дополнительных построений, содержащих в неявном виде идею параллельного переноса. Наряду с этим закрепляются приёмы и методы, освоенные на предыдущем занятии.
Занятие 3. Окружность: углы и касательные. Ориентировано на учащихся 8 классов. На этом занятии рассмотрены экстремальные задачи, связанные с окружностями. Решение большинства из них опирается на теорему о вписанном угле и различные факты, которые из неё следуют. Типовой конструкцией для этого занятия является окружность, описанная около треугольника, и касательные к ней. Это, в частности, даёт возможность находить экстремальные значения высот, биссектрис и медиан треугольника, если заданы определённые условия, а также решать обратные задачи.
Занятие 4. Помогают свойства четырёхугольников. Ориентировано на учащихся 8 классов. Решение экстремальных задач этого занятия позволяет продемонстрировать применение большого количества свойств различных видов четырёхугольников. Используются также свойства средних линий треугольника и трапеции, теоремы Фалеса и Вариньона. Кроме того, получают дальнейшее развитие идеи симметрии и параллельного переноса.
Занятие 5. Наибольшая площадь и фиксированная площадь. Ориентировано на школьников 8 – 9 классов. На этом занятии рассматриваются экстремальные задачи, связанные с площадями. Выбраны задачи, в условиях которых либо требуется найти наибольшее значение площади четырёхугольника при заданных условиях, либо, наоборот, площадь фиксирована и требуется найти экстремальное значение какой-либо другой величины. На примере квадрата рассмотрено богатство экстремальных свойств правильных многоугольников. Уделено внимание изопериметрической задаче и задаче Дидоны. Показана значимость использования в решениях экстремальных задач неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим.
Занятие 6. Метрические теоремы и подобие. Ориентировано на учащихся 9 классов. Основу этого занятия составляют экстремальные задачи, решение которых потребует использовать свойства подобных треугольников, теоремы синусов и косинусов, различные способы вычисления площадей треугольников и четырёхугольников. Кроме того, актуальными останутся некоторые методы, рассмотренные на предыдущих занятиях, в частности, способы оценки площадей фигур, использующие равновеликость или неравенство Коши. Для решения некоторых задач потребуется применить другие стандартные алгебраические неравенства или свойства квадратичной функции.
Занятие 7. Точки, внутри угла, и прямые, пересекающие угол. Ориентировано на учащихся 9 классов. На этом занятии рассматриваются экстремальные задачи, в условиях которых задан фиксированный угол. Рассматриваемые конструкции условно разделены на три группы: 1) прямые, проходящие через заданную точку внутри угла, высекают отрезок или отсекают треугольник с заданными экстремальными свойствами; 2) на окружности, лежащей внутри угла, ищутся точки с экстремальными свойствами; 3) проведение прямой, пересекающей стороны угла, обусловлено каким-нибудь дополнительным экстремальным условием. Для решения этих задач, помимо идеи симметрии, которая разбирались в занятии 2, потребуется использовать различные приёмы, большая часть которых отработана при разборе и решении задач других предшествующих занятий.
Занятие 8. Равносторонний треугольник. Ориентировано на школьников 9 – 10 классов. Это занятие посвящено экстремальным свойствам равностороннего треугольника, что в какой-то степени продолжает «линию», намеченную в занятии 5. В процессе решения задач использованы, в основном, аналитические методы, которые подразумевают вывод и применение различных геометрических формул в сочетании с алгебраическими неравенствами, причём некоторые из этих неравенств в предыдущих занятиях не встречались. При этом, вывод использованных формул происходит на основе геометрических соображений.
Занятие 9. Экстремальные точки в треугольнике. Ориентировано на школьников 9 – 10 классов. На этом занятии рассмотрены точки треугольника, в которых те или иные величины или выражения принимают экстремальные значения. В их число входят как широко известные замечательные точки треугольника (точки пересечения высот, медиан и биссектрис), так и точки, которых небыло на предыдущих занятиях. Решение и разбор задач этого занятия позволит показать применение теорем и формул, которые далеко не всегда изучаются на уроках геометрии, а также расширить арсенал применяемых приёмов и методов.
По традиции, в конце книжки все занятия представлены в виде дидактических материалов. Понятно, что преподаватель математического кружка (или учитель на уроках и факультативных занятиях) может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, использовать эти занятия для более старших или более младших школьников, поменять порядок их изучения, и т. д.
Авторы благодарны В Брайману, чьи материалы были частично использованы при написании, Е. Диомидову, А. Заславском, А. Карлюченко и Д. Швецову за предложенные ими идеи решения отдельных задач. Огромное спасибо Ю. Эдлину, который, внимательно прочёл первую версию книжки и сделал много ценных замечаний и предложений. Отдельная большая благодарность – официальному редактору этой книжки Д. Прокопенко, чьи замечания и дополнения помогли существенно улучшить текст. Кроме того, выражаем благодарность всем авторам задач и авторам использованной литературы, среди которых хочется особенно выделить М.А. Волчкевича, В.Ю. Протасова и В.В. Прасолова.
Особенно ценными были замечания А.В. Шаповалова, благодаря которым были улучшены решения ряда задач, а также повышен уровень строгости изложения некоторых решений. Авторы также благодарны сотрудникам издательства МЦНМО, принимавших участие в подготовке этой книжки к печати.