А.В.Шаповалов => Книги и брошюры => Школьные математические кружки

Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам

Автор: Кноп К. А.

Издание: 3-е, стереотипное
Издательство: МЦНМО
ISBN: 978-5-4439-0085-8
Год издания: 2013
Тираж: 2000 экз.
Количество страниц: 104 стр.
Размер: 140x200/4

Пятая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена задачам о взвешивании и предназначена для занятий со школьниками 6–9 классов. В нее вошли разработки шести занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачи для самостоятельного решения и методические указания для учителя. Приведены также дополнительные задачи. Книга адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям задач на взвешивания.

Скачать Демо-версию книги (pdf)

Купить электронную версию книги на litres.ru

ЛИСТКИ

1. Угадай, что я задумал!
2. Монета на весах
3. В поисках случая
4. Весы со стрелкой
5. Всё идёт по плану
6. Султан Саладин и его пленник

Предисловие

Математические головоломки, как и математические задачи, известны с древности. В течение очень долгого времени они не отделялись друг от друга. Чёткого рубежа нет и поныне, несмотря на появление значительного культурного слоя, как в области олимпиадных задач, так и в области спортивных паззлов, т.е. головоломок, традиционно предлагаемых на чемпионатах по решению головоломок (например, к таким паззлам относятся популярные ныне судоку и какуро). В рамках этой книжки автор хотел бы отличать головоломки от задач следующим образом: каждый сюжет перестает быть головоломкой и становится математической задачей тогда, когда к нему найден подход, позволяющий решать не только его, но и аналогичные сюжеты.

Задачи, о которых у нас пойдет речь, очень популярны среди любителей головоломок и вместе с тем незаслуженно обойдены вниманием в большинстве книжек, предназначенных для занятий математического кружка. То есть о них, конечно же, упоминается, но как-то вскользь. Вероятно, причиной такого положения дел является то, что в этих задачах очень многие видят головоломки и только головоломки. На самом деле «взвешивательные» сюжеты – отличный полигон для знакомства с математическими идеями и методами, в том числе и актуальными для современной математики. Косвенным доказательством этого тезиса служит то, что зачастую простое упражнение от нерешенной математической проблемы отделяется всего одной деталью. Например, задача об определении двух фальшивых монет из N за наименьшее число взвешиваний – нерешенная (открытая) проблема. Задач промежуточной трудности (достаточно сложных, но решаемых полностью) не так много. Тем не менее, они есть, и именно ими автор и старался наполнить эту книжку. Пользуясь случаем, автор выражает огромную признательность научному редактору книги Александру Васильевичу Шаповалову (Стокгольм), вклад которого невозможно переоценить.

Для ряда задач мы выделили специальную часть, содержащую обсуждение основной идеи решения, предварительный анализ условия или иные наводящие соображения. Она напечатана более мелким шрифтом сразу после условия задачи. При решении задачи на занятии кружка учитель может «поделиться» этой частью решения с учениками. Аналогично после текста решений мелким шрифтом набраны комментарии для преподавателя, относящиеся к развитию и всевозможным обобщениям задачи.

Отдельного упоминания заслуживают задачи, в которых предлагается построить «генеральный план», то есть заранее (до первого взвешивания) предъявить полное описание того, какие монеты будут на какой чаше весов в каком взвешивании. Отметим, что если задача имеет «плановое» решение, то её можно решить и «последовательно», выполняя одно взвешивание за другим. Обратное справедливо не всегда, – см., например, задачу 5.8 о 25 монетах.

Рамки этой книги не позволяют упомянуть в ней все сюжеты, имеющие отношения ко взвешиваниям. Автору приходилось делать выбор, и не всегда он был лёгким. Так, в книжку не поместились задачи о сортировке предметов, задачи о нестандартных взвешивающих устройствах и многие другие. Впрочем, взвешивания – это только один из типов задач комбинаторного поиска. Чтобы напомнить о том, что бывают и другие типы, первое занятие мы целиком посвящаем угадываниям задуманных объектов. Не удивляйтесь: это тоже задачи, решение которых сводится к работе с информацией, – а это и есть основное сожержание настоящей книги.

Я посвящаю эту книжку своему отцу,
научившему меня мыслить, а, значит, существовать.

Константин Кноп,
Санкт-Петербург, ноябрь 2010.

Список литературы

1. Орлов А. Поиск предмета // Квант - 1976 - N7 — с.55-57.

2. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике. - М., Просвещение, 2002.

3. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. - М., Просвещение, 1996.

4. Байиф Ж.К. Логические задачи. - М., Мир, 1983

5. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М., Наука, 1991.

6. Бизам Д., Герцег Я. Многоцветная логика: 175 логических задач. - М., Мир, 1978

7. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. - М., МЦНМО, 2005.

8. Apsimon H. Mathematical byways in Ayling, Beeling and Ceeling. - Oxford, 1991.